Komplexní čísla – vědecká charakteristika a význam
Komplexní čísla rozšiřují množinu reálných čísel a tvoří základní stavební kámen mnoha oborů moderní matematiky, fyziky a techniky. Za komplexní číslo označujeme výraz tvaru ( z = a + bi ), kde ( a, b ) jsou reálná čísla a ( i ) je imaginární jednotka splňující vztah ( i^2 = -1 ). Číslo ( a ) se nazývá reálná část a ( b ) imaginární část komplexního čísla. Tento zápis připouští existenci řešení rovnic, jako je například ( x^2 + 1 = 0 ), které v množině reálných čísel nemají řešení.
Geometricky lze komplexní čísla zobrazit v rovině (tzv. Gaussova rovina, též Argandova rovina), kde vodorovná osa představuje reálnou složku a svislá osa imaginární složku. Takto lze komplexní čísla chápat jako body v rovině, nebo vektor od počátku ke zvolenému bodu. Tento přístup umožňuje zavést polární tvar komplexního čísla: ( z = r(cosvarphi + i,sinvarphi) ), kde ( r ) je absolutní hodnota (modul) a ( varphi ) argument (úhel), pod kterým je vektor orientován vůči reálné ose. Polární forma je zvlášť užitečná pro násobení, dělení komplexních čísel a při vyjadřování Exponenciální formou pomocí Eulerovy identity: ( z = re^{ivarphi} ).
Komplexní čísla mají zásadní význam ve vědeckém poznání a praktických aplikacích. Ve fyzice se používají například při analýze střídavých proudů a vlnění, v kvantové mechanice vyjadřují stavové vektory, v elektrotechnice usnadňují výpočty oscilačních obvodů. V matematice komplexní analýza odhalila důležité vlastnosti funkcí (např. holomorfní funkce), zavedla nové metody řešení diferenciálních rovnic, integrálů a poskytla elegantní důkazy některých hlubokých tvrzení. Komplexní čísla tak tvoří most mezi algebraickými strukturami a geometrickým uvažováním a patří k nejvýznamnějším matematickým objevům posledních staletí.
PhDr. Pavel Bartoš, LL.M., DBA (Evropská akademie vzdělávání / European Academy of education)